Organizada por José Carlos Gómez Larrañaga, CIMAT y CIDE.

La sesión consta de cinco mini cursos y tres conferencias de divulgación que se llevarán a cabo durante la semana del congreso, de acuerdo al siguiente horario.

Mini cursos

• TDA Applications, Isabel Darcy, University of Iowa.
• Homología persistente, Malors Emilio Espinosa Lara, CIMAT.
• Aspectos computacionales de TDA y Big Data, Ramón Reyes, INFOTEC.
• Probabilidad, estadística, y análisis topológico de datos, Miguel Nakamura Savoy y Víctor Pérez Abreu, CIMAT.
• Teoría de Morse para TDA, Juan Ahtziri González Lemus, CIMAT.

Conferencias de Divulgación

• Topología Algebraica y Robótica, Jesús González, CINVESTAV.
• Una aplicación a genética del análisis topológico de datos, José María Ibarra Rodríguez, DEMAT-UG.
• Stochastic Perspective on Topological Data Analysis, Sayan Mukherjee, Duke University.

Resúmenes

1. Mini curso

   Isabel Darcy, University of Iowa

   Título: TDA Applications

   Abstract: Topology has many applications. It allows one to recognize shapes, but allows for distortions. Hence topology has been used to study the shape of noisy data. At minimum persistent homology can be used to cluster data when it is unclear what threshold should be used for determining connections such as when constructing a brain network. But holes in data can have significant meaning. We will cover the basics of topological data analysis via several applications including brain imaging, image compression, and gene expression.

2. Conferencia de Divulg​ación

   Jesús González, CINVESTAV

   Título: Topología Algebraica y Robótica

   Resumen: En esta charla se ofrece un panorama de la forma en que las técnicas de la topología algebraica han incursionado en los últimos años dentro de la robótica.

3. Mini curso

   Malors Emilio Espinosa Lara, CIMAT

   Título: Homología Persistente

   Resumen: A grandes rasgos, la homología persistente intenta entender la forma de un espacio topológico no sólo desde el punto de vista estático sino también histórico, es decir, cómo fueron creándose o destruyéndose las características que definen al espacio y así asignarles una noción de cuánto han persistido durante la historia del objeto. Por ejemplo, no se desea sólo saber que el toro tiene dos agujeros sino cómo aparecieron esos hoyos al pensar en el toro como un objeto que va cambiando con el tiempo.

   El objetivo de este mini curso es lograr lo siguiente:

   1. Definir homología persistente, como una aplicación de la homología a ciertos espacios topológicos con el objetivo de no sólo poder entender la forma del espacio sino de equiparar al espacio con una historia de cómo la forma cambia con el tiempo.

   2. Aprender a construir diagramas de persistencia que es el objeto donde se ha resumido gran parte de la información obtenida a partir de la homología persistente y en el cual se podrá llevar a cabo el análisis estadístico.

   3. Mostrar un algoritmo para calcular los diagramas de persistencia de manera que evite el cálculo explícito de los grupos de homología y nos permita llegar directamente al resultado deseado (los diagramas de persistencia) a partir de técnicas del álgebra lineal.

   El curso será panorámico por lo que no se ahondará en las demostraciones y tendrá prioridad entender los conceptos y ver cómo se usan los algoritmos presentados.

4. Mini curso

   Ramón Reyes, INFOTEC

   Título: Aspectos computacionales de TDA y Big Data

   Resumen: Repasaremos los principales problemas que enfrenta la computación frente al fenómeno denominado “Big-Data” y revisaremos tanto las bases computacionales de la propuesta que presenta el Análisis Topológico de Datos, así como los sistemas y software que se ha ido desarrollando en este contexto.

5. Conferencia de Divulgación

   José María Ibarra Rodríguez, DEMAT-UG

   Título: Una aplicación a genética del análisis topológico de datos

   Resumen: El análisis topológico de datos es una herramienta moderna para realizar análisis de datos complejos. Ésta técnica basada en ideas de topología algebraica, genera hoy retos importantes en áreas como computación y estadística y tiene una aplicación creciente. En ésta plática se presentará una breve introducción acerca de las ideas claves asociadas y se verá un ejemplo de una aplicación a genética, comparándola con las técnicas estadísticas que se usan usualmente para el mismo problema.

6. Mini curso

   Miguel Nakamura Savoy y Víctor Pérez Abreu, CIMAT

   Título: Probabilidad, estadística, y análisis topológico de datos

   Resumen: El Análisis Topológico de Datos (TDA) es una herramienta basada en topología algebraica con aplicaciones crecientes para el análisis de datos complejos. Recientemente se han considerado el análisis y la modelación estocástica, planteándose retos para la computación, la estadística y la probabilidad. En esta serie de pláticas se explicarán analogías de la relevancia de estadística y probabilidad para TDA, tales como esperanza, momentos, mediana e hipótesis nula y el por qué TDA puede ser considerado como un Análisis Exploratorio de Datos (EDA) moderno. Se introducirán conceptos y resultados recientes para la consideración de medidas de probabilidad e inferencia estadística para la homología persistente, incluyendo medias de Fréchet e inferencia paramétrica para diagramas de persistencia.

7. Mini curso

   Juan Ahtziri González Lemus, CIMAT

   Título: Teoría de Morse para TDA

   Resumen: El mini curso se va a dividir en las siguientes 3 partes:

   I - Introducción rápida a la Teoría de Morse: Explicaremos de manera intuitiva (sin demostraciones) como es que una función de Morse en una variedad induce una descomposición en asas y mencionaremos algunos teoremas clásicos e ilustrativos.

   II - Definición del Complejo de Morse-Smale: Definiremos funciones de Morse-Smale, luego mostraremos como con ayuda de éstas podemos asociar a una variedad el complejo de Morse-Smale. Dicho complejo es útil por que guarda la información de las curvas de nivel donde la variedad cambia su topología.

   III - Ejemplos y aplicaciones: Calcularemos el complejo de Morse-Smale para algunas variedades sencillas y mostraremos aplicaciones de las construcciones realizadas a TDA. La sesión está pensada para alumnos de la segunda mitad de la licenciatura, los únicos prerrequisitos verdaderos son los cursos de Cálculo en Varias Variables y Topología I.

8. Conferencia de Divulgación (extendida)

   Sayan Mukherjee, Duke University

   Title: Stochastic Perspective on Topological Data Analysis

   Abstract: A probabilistic and statistical perspective on topological data analysis (TDA) is discussed. We look at three aspects of TDA from a Statistical perspective.

   We first examine a common summary statistic used in TDA – persistent homology or a persistence diagrams. Persistent homology is introduced and described as a statistical summary of point cloud data. Motivating examples are given as to why topological summaries of data are Interesting. We then describe how these summaries satisfies properties of a probability space. We state mathematical and computational properties of means and variances of persistence diagrams.

   The second idea we develop is the idea of a sufficient statistic. The motivation is modeling surfaces and shapes. We introduce two statistics, the persistent homology transform (PHT) and Euler Characteristic (ECT), to model surfaces in and shapes. We apply this to modeling bones across primates as well as to placing likelihood models on shapes.

   The last idea is to extend what people have done in terms of random walks on graphs and spectral graph theory to simplicial complexes. We first review the graph theoretical ideas. We then discuss how random walks on simplicial complexes can be defined and stationary distributions. We also develop isoperimetric inequalities on simplicial complexes.