En objetivo de esta plática es familiarizarnos con los espacios de probabilidad no conmutativos (EPNC) sus respectivas variables aleatorias y los diferentes tipos de independencia estocástica y sus respectivos cumulantes.

Las variables aleatorias forman una álgebra asociativa en la que podemos calcular momentos y cumulantes (i.e. media, (co)-varianza, etc). La idea básica de los EPNC es definir momentos algebraicamente, en el marco de álgebras asociativas con respecto a ciertos productos y funcionales lineales.

Un ejemplo fundamental es el espacio de matrices complejas (determinísticas), el producto de Kronecker de matrices y el funcional lineal que calcula la traza normalizada. Gracias a ciertas propiedades de los eigenvalores, podemos re-definir algebraicamente el concepto probabilistico de independencia.

En este marco algebraico surgen nuevas nociones de independencia. La más sencilla es la independencia Booleana, que se describe también en términos de matrices (de adyacencia) de cierto productos de gráficas. También presentamos realizaciones de la independencia monótona y libre.

La probabilidad no conmutativa se enriquece enormemente cuando se consideran momentos con respecto a esperanzas condicionales más generales.
Retomaremos los ejemplos de la primera plática y observaremos ahí varios ejemplos de esperanzas condicionales útiles.
En el caso Booleano las esperanzas condicionales permiten filtrar ciertos caminos en gráficas.
En el caso libre, las esperanzas condicionales permiten producir algoritmos para calcular distribuciones de eigenvalores de modelos muy generales.

En la teoría de probabilidad, muchas distribuciones pueden describirse en términos de momentos (en particular, las distribuciones que aparecen como límites de modelos matriciales aleatorios). El plan de esta plática es ofrecer un panorama sobre matrices aleatorias utilizando el formalismo de cumulantes.

Los cumulantes son polinomios homogeneos en los momentos que permiten describir distribuciones de manera más compacta y eficiente. A pesar de ser descubiertos desde 1889, los cumulantes no aparecen mucho en la literatura. Esto se debe a que muchas propiedades de los cumulantes se traducen a identidades entre transformadas de Fourier de variables aleatorias. Por ejemplo, los cumulantes evaluados en variables aleatorias independientes se anulan y esto se traduce a que las (log-)transformadas de Fourier de variables aleatorias sean aditivas.

En las últimas décadas han surgido nuevas nociones de independencia (e independencia condicional) en el contexto de espacios de probabilidad no conmutativos. Estas nuevas nociones de independencia vienen con sus respectivos cumulantes. En particular, los cumulantes libres han resultado muy eficientes para describir distribuciones de eigenvalores de matrices grandes.

En esta plática hablaremos de los productos de gráficas: directo, estrella y especialmente del libre. Se expondrán los resultados acerca de la distribución espectral de las gráficas k-distantes de árboles d-regulares. A partir de este resultado, y siguiendo las ideas de McKay, se mostrará que la distribución de la gráfica k-distante de una gráfica aleatoria d-regular converge a la distribución de la gráfica k-distante de un árbol d-regular. Finalmente, demostraremos que la distribución asintótica espectral del producto libre de gráficas está dada por P_k(s), donde P_k es el k-ésimo polinomio de Chebyshev y s es una variable aleatoria con distribución semicircular. Esto complementa resultados de Hibino, Lee y Obata (2013) para el producto cartesiano y de Arizmendi y Gaxiola (2015) para el producto estrella. Éste es un trabajo conjunto con Octavio Arizmendi.

Los modelos de la Teoría de Matrices Aleatorias juegan un papel muy importante en algunas ramas de las matemáticas puras como el análisis funcional, la teoría de números y la probabilidad. Asimismo, cada vez encuentran mayores aplicaciones modernas y relevantes en diversas ramas de la física, de la comunicación inalámbrica, de la estadística y de las matemáticas financieras, entre otras disciplinas.

Los conocimientos mínimos para seguir el curso son álgebra lineal y un poco de probabilidad. Sin embargo, se verá en el curso, que sus alcances son enormes y podrán ser igualmente aprovechados tanto por alumnos de licenciatura, como por alumnos de posgrado y profesores interesados en el tema.

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